★☆★【数学ⅡB】大学入学共通テスト 解答速報 | 東進ハイスクール 柏校 大学受験の予備校・塾|千葉県

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2023年 1月 15日 ★☆★【数学ⅡB】大学入学共通テスト 解答速報

【解答速報】

 


【全体概観】

昨年度に比べ、問題文の分量が増加した。必答問題はやや取り組みやすいものの、選択問題の随所に取り組みにくい設問がある。

必答問題が2題、選択問題3題から2題の選択、合計4題を解答する形式は、前年度と同様である。センター試験から共通テストに切り替わり問題文の量が増加したが、昨年度と比較してもページ数は更に増加している。ただし、必答問題を中心に取り組みやすい設問が増えている。会話形式の問題文は随所に見られるものの、会話の中に空欄、設問が設定された問題はなかった。

第1問[1]は「三角関数」からの出題、三角比の不等式に関する問題である。2倍角の公式や和積の公式といった、加法定理に関する定理を適切に用いることができるかが試される。[2]は「指数関数・対数関数」からの出題であり、主に対数の定義に関する理解が問われる。第2問[1]は「微分法」からの出題。円錐の内側に作られる円柱の体積の最大値を求める問題であり、図形、関数ともにごく基本的である。グラフを選択する形式の問題は出題されなかった。[2]は「積分法」からの出題である。ソメイヨシノの開花時期を定積分により推定するという真新しい設定である。ただし、基本的な定積分の計算と性質を利用すれば無理なく結論に至る。第3問は「確率分布と統計的な推測」からの出題である。ピーマン1個の重さに関するデータを分析する内容である。正規分布表を利用することも前年度と同様である。また、後半には、重さの分散を小さくするための手法を定めて考察を行う。設定を適切に理解することが求められる。第4問は「数列」からの出題である。預金の複利計算に関する出題であり、漸化式を利用する方法、和を直接計算する方法の2つの方針で考えるよう誘導されている。第5問は「ベクトル」からの出題である。三角錐の頂点を含む空間上の点の関係を考察する問題である。計算すべきことは多くないが、与えられた条件からベクトルに関する等式条件を導き選択する形式の問題が多く、不慣れな受験生もいたことと考えられる。

【設問別分析】

【第1問】三角関数、指数・対数関数
[1](三角関数) 2倍角の公式や和積の公式を利用して、三角比の不等式を満たすxの値の範囲を考察する問題である。誘導が丁寧につけられており、加法定理を適切に用いることができるかが試される。

[2](指数関数・対数関数) 様々な対数の値が有理数か否かを判断することが問題のテーマとなっている。対数の定義を正しく理解しているかが問われる。細かな設問に分けられており、結論までの道筋が追いやすい問題構成である。

【第2問】微分法・積分法
[1](微分法) 円錐の内側に作られる円柱の体積の最大値を求める問題である。先に基本的な関数の極値に関する考察を行っており、後半ではこれを利用することで円柱の体積の最大値を調べる。

[2](積分法) ソメイヨシノの開花時期を定積分により推定するという真新しい設定である。問題文がやや長く、設定を正しく理解することに時間がかかる受験生もいたかと思われる。ただし、ごく基本的な定積分の計算や性質を理解していれば、無理なく結論を得られる内容である。

【第3問】確率分布と統計的な推測(選択問題)
 ピーマン1個の重さに関するデータを分析する問題であり、信頼区間などの計算を行う。必要あれば正規分布表が利用できる。後半は、重さの分散を小さくするために、軽いものと重いものをペアにする手法を考え、それを利用した際の確率分布を考察する問題となっている。

【第4問】数列(選択問題)
 お金を毎年一定額の積立てを行うことを考え、ある利率で運用した場合の複利計算を行う問題である。2つの解法で考えるように誘導されており、方針1は漸化式を作る方法で、方針2は等比数列の和を利用する方法である。ともに内容的には易しく、類題の経験があれば容易であろう。

【第5問】ベクトル(選択問題)
 三角錐を題材としたベクトルの問題である。内積計算が主体となっており、成立するベクトル方程式を解答群から選択する問題が多い。ベクトル方程式から情報を読み取る力が必要になる。

【新高3生へ】

大学入学共通テストの数学II・Bでは、数学I・Aの学習を土台とした発展的な出題が多いため、数学I・Aが未完成な状態では高得点は望めません。まずは、できるだけ早く数学I・Aを完璧なものにしましょう。その上で、数学II・Bの基礎・基本を固めていくことが、効率的な学習となり、総合的な数学の力を自分のものにしていくことにつながります。
数学II・Bのそれぞれの分野において、基礎・基本を身につける上で重要なポイントは以下の通りです。

◆方程式・式と証明
3次式の展開・因数分解、二項定理、整式の除法について、しっかりと理解しておく必要があります。特に整式の除法は、剰余の定理、因数定理の導出の基となるものなので、原理からしっかりと理解を深めておきましょう。

◆三角関数
加法定理から派生する倍角公式などは丸暗記でなく、導出過程も含めて理解し、さらに実際に使いこなせるレベルにまで達する必要があります。求めるものによって、適切な式変形が素早く出来るように、まず加法定理を完全に理解し、使えるようにしましょう。

◆指数・対数関数
指数法則、およびそこから導かれる対数計算、底の変換の計算などがいかに正確に素早くできるかがポイントです。指数や対数の底の大きさによる大小の場合分けや、対数の真数条件などの基本事項を理解した上で、計算のスピードを上げる練習をしましょう。

◆図形と方程式
座標平面上における2直線の平行条件・垂直条件や、点と直線の距離、円の方程式は必ず理解しておきましょう。また、領域における最大・最小問題は、文字のとり得る値や不等号の向きに注意して正しく図を描くことが重要になります。図から大小が容易に判断できない場合には、計算で比較を行うなど臨機応変な解法が取れるようにしておきましょう。

◆微分法・積分法
関数とその導関数の対応について、グラフによる視覚的な理解をしておくことが重要です。また、面積を求める際の積分計算も確実にできるようにしておく必要があります。面積を求める領域の把握が第一歩となるので、日ごろから面倒がらずに図を描く習慣を身につけましょう。

◆数列
等差数列、等比数列の決定とその和、漸化式、群数列など出題テーマが多岐にわたる分野ですが、いずれにおいても項の対応(規則性)を考えることが重要です。日ごろから具体的に項を書き並べて考える習慣を身につけましょう。

◆ベクトル
内積計算、2直線の交点の位置ベクトル、ベクトルの垂直・平行条件、共線条件、共面条件などを押さえておく必要があります。一つ一つ整理して、確実に理解しましょう。

これらの分野を効率よく学習するには、いきなり入試レベルの問題に取り組むのではなく、教科書の例題、練習問題、節末問題、章末問題レベルへと、少しずつステップアップしていくのが一番の近道です。「計算を最後までやり抜く」ことや「図やグラフを描いて考える」ことを積み重ね、早期に基礎を確固たるものにするために、問題演習を繰り返しましょう。

解法の暗記に頼るのではなく、公式や解法の原理を理解してから先に進むような勉強を繰り返すことで、受験だけでなく、将来社会に出てからも役立つ本当の力をつけることができます。
数学II・Bの問題は、数学I・A以上に抽象的な問題が多く、また計算量も多いため、時間が足りないと感じることが多いと思います。大学入学共通テスト対策としては、限られた時間で正確に解けるように演習を繰り返すことが欠かせません。

東進では「全国統一高校生テスト」を含めて年6回実施される「共通テスト本番レベル模試」があります。大学入学共通テストの傾向や自分の現在の力を知り、さらに不得意分野・弱点を明確にして大学入学共通テスト対策を進めていきましょう。

【新高2生へ】

大学入学共通テストの数学II・B・Cでは、授業風景や日常生活に関する対話形式の問題、および1つの問題に対して複数の方針で考える問題が出題されます。長い問題文から必要な情報を読み取って解き進める力、問題を深く考え考察する力が要求されます。よって、与えられた情報をより速く正確に読み取って解き進める力を身につけていく必要があります。そのためにも、まずはその土台となる数学I・Aと数学II・B・Cの基礎・基本を確実に理解することが重要です。
数学I・Aの基礎・基本を確実にした後、数学II・B・Cのそれぞれの分野において、新高2生の今から身につけておくべきことは以下のとおりです。

◆方程式・式と証明
3次式の展開・因数分解、二項定理、整式の除法について、しっかりと理解しておく必要があります。特に整式の除法は、剰余の定理、因数定理の導出の基となるものなので、まずはその原理をしっかりと理解しましょう。

◆三角関数
加法定理から派生する倍角公式などを丸暗記でなく、導出過程も含めて理解することが重要です。まずは加法定理を正確に覚え、他の公式が自由に導出できるように式変形する練習を積みましょう。

◆指数・対数関数
指数法則、およびそこから導かれる対数の性質、底の変換などをまず理解しましょう。さらに、底の大きさによる増減、対数の真数条件なども押さえながら素早く正確に計算する習慣を身につけましょう。

◆図形と方程式
座標平面上における2直線の平行条件・垂直条件や、点と直線の距離、円の方程式の求め方をまず理解しましょう。そして、図を視覚的に捉える方法、数式で表現する方法の双方をしっかりと鍛えましょう。

◆微分法・積分法
関数とその導関数の対応について、グラフによる視覚的な理解をしておくことが重要です。また、面積の積分計算も確実にできるようにしておく必要があります。まずは、面積を求める際の領域を正確に把握できるように、グラフを正確に描く習慣を身につけましょう。

◆数列
項の対応(規則性)を考えることが最も重要です。公式を丸暗記するのではなく、書き並べて考えるなどの習慣を身につけましょう。

◆統計的な推測
確率変数の期待値、分散、標準偏差の計算方法、および確率変数の変換の考え方をまず理解しましょう。また、正規分布や正規分布に従う確率変数を標準正規分布に従う確率変数に変換する方法や、母平均・母比率の推定、さらに仮説検定の考え方についても一つずつ身につけていきましょう。

◆ベクトル
ベクトルも図形問題なので、図を描いて考えることが基本です。点がその図の中のどのような位置にあるのかを常に意識しながら解き進めるようにしましょう。

◆平面上の曲線と複素数平面
放物線・楕円・双曲線といった2次曲線の基本性質、および曲線の媒介変数表示、極座標と極方程式の考え方を整理して理解しておきましょう。

◆複素数平面
極形式とド・モアブルの定理、および複素数の方程式で表された図形の見方をまずは理解しましょう。

入試レベルの問題に取り組むために、まず今すべきことは数学I・Aを完璧にすること数学II・B・Cの基本を確実に身につけることです。教科書の例題、練習問題、節末問題、章末問題レベルへと、少しずつステップアップして学習することが、実力を高める一番の近道です。
同時に「計算を最後までやり抜く」、「図やグラフを描いて考える」といった基本的なことを一つ一つ確実に積み重ねることによって、しっかりとした基礎力を高2の時点から養成しましょう。
共通テストの数学では、現実の事象を数学に引き寄せて課題解決をしたり、友人との議論を通して結論を得て行ったりする探究的要素が多くなってきています。普段の学習から疑問を放置せず、深い理解をするようにしましょう。

東進では「全国統一高校生テスト」をはじめ、「高校レベル記述模試」「大学合格基礎力判定テスト」などを用意しています。自分の現在の力を知り、さらに不得意分野、弱点を明確にして本格的な大学受験対策に向けて大いに役立ててください。そのためにも、模試は毎回欠かさず受験するようにしましょう。
さらに高2の8月からは「全国統一高校生テスト」に加えて、受験学年と同じ「共通テスト本番レベル模試」も受験しましょう。真剣に問題に取り組む時間は、学力を伸ばす絶好の機会です。